Question

三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱和底面所成的角都相等，則頂點在底面三角形上的射影是底面三角形的（　　）

A．外心和內心

B．內心

C．垂心

D．外心和垂心

Answer 1

分析：如圖，三棱錐的頂點P在平面ABC上的射影為O，利用已知條件側棱和底面所成的角都相等，證明△PAO≌△POB≌△POC，從而得到OA=OB=OC；又根據三棱錐的三條側棱兩兩垂直，一條棱就垂直于平面上的在棱錐底面的一條邊，過頂點向底面做垂線，連接底面頂點和垂足，根據線面垂直定理得到底面的高線，得到垂心．由此推出結論．

解答：解：設頂點P在平面ABC的射影O，如圖連接OA，OB，OC，
∵側棱和底面所成的角都相等，
∴∠PAO=∠PBO=∠PCO，
∵PO⊥底面ABC，
PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∴△PAO≌△POB≌△POC
∴OA=OB=OC，
所以O為三角形的外心．
又三棱錐的三條側棱兩兩垂直，
則一條棱就垂直于另兩條棱組成的平面，
則這條棱就垂直于平面上的在棱錐底面的一條邊，
過頂點向底面做垂線，連接底面頂點和垂足，根據線面垂直定理得到底面的高線，
∴射影必是底面三角形的垂心，
故選D．

點評：本題考查棱錐的結構特征，考查邏輯思維能力和空間思維能力，是基礎題．