Question

已知球的內接三棱錐的三條側棱兩兩垂直，長度分別為3cm，2cm和

3

cm，則此球的體積為（　　）

• A．

  12 3

  3

  πcm3
• B．

  16 3

  3

  πcm3
• C．

  16

  3

  πcm3
• D．

  32

  3

  πcm3

Answer 1

分析：將三棱錐放入以3cm、2cm和

3

cm為長、寬和高的長方體中，則長方體與三棱錐有相同的外接球，利用長方體的對角線公式得到球直徑，從而得到外接球的半徑r，最后用球體積公式可求出該球的體積．

解答：解：如圖，將符合題意的三棱錐放入長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，則三棱錐A₁-AB₁D₁中，側棱A₁A、A₁B₁、A₁D₁互相垂直，
設長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球為球O，則球O同時是三棱錐A₁-AB₁D₁的外接球
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的長、寬、高分別為3cm、2cm、

3

cm，
∴長方體的對角線長為

32+22+( 3 )2

=4cm，
可得外接球O的半徑為2cm．
根據球的體積公式，得球O的體積為V=

4π

3

×r³=

32

3

πcm3
故選D

點評：本題給出三條側棱兩兩垂直的三棱錐并給出三條側棱的長，求三棱錐的外接球的體積，著重考查了球內接多面體、長方體對角線公式和球體積公式等知識，屬于基礎題．