Question

若2x-3y+z=3，則x²+（y-1）²+z²的最小值為

 

．

Answer 1

考點：圓的標準方程

專題：不等式的解法及應用,直線與圓

分析：利用題目條件得出柯西不等式的條件：（2²+（-3）²+1²）（x²+（y-1）²+z²）≥（2x-3（y-1）+z）²，代入求解即可．

解答： 解：∵2x-3y+z=3，
∴2x-3（y-1）+z=6，
∵2²+（-3）²+1²=14，
根據柯西不等式求解：
∴14×（x²+（y-1）²+z²）=（2²+（-3）²+1²）（x²+（y-1）²+z²）≥（2x-3（y-1）+z）²=36，
∴x²+（y-1）²+z²≥

36

14

=

18

7

，
故答案為：

18

7

點評：本題考查柯西不等式，關鍵是利用：（2²+（-3）²+1²）（x²+（y-1）²+z²）≥（2x-3（y-1）+z）²，屬于中檔題．