Question

已知函數（e為自然對數的底數），a＞0．
（1）若函數恰有一個零點，證明：；
（2）若≥0對任意x∈R恒成立，求實數a的取值集合．

Answer 1

（1）見解析；（2）{1}.

解析試題分析：（1）先判斷f（x）的單調性，根據“f（x）前有一個零點”，找到關于a的等式，化簡整理可得需證結論；（2）根據（1），只需f（x）的最小值不小于0即可.
試題解析：（1）證明： 由，得．         1分
由＞0，即＞0，解得x＞lna，同理由＜0解得x＜lna，
∴ f（x）在（－∞，lna）上是減函數，在（lna，＋∞）上是增函數，
于是f（x）在x＝lna取得最小值．
又∵ 函數f（x）恰有一個零點，則，         4分
即．                      5分
化簡得：，
∴ ．                           6分
（2）解：由（1）知，f（x）在x＝lna取得最小值f（lna），
由題意得f（lna）≥0，即a－alna－1≥0，              8分
令，則，
由可得0＜a＜1，由可得a＞1．
∴ h（a）在（0，1）上單調遞增，在（1，＋∞）上單調遞減，即，
∴ 當0＜a＜1或a＞1時，h（a）＜0，
∴ 要使得f（x）≥0對任意x∈R恒成立，a＝1
∴ a的取值集合為{1}            13分
考點：導數，函數的零點，恒成立問題