Question

若x，y是正數，則(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2的最小值是（　　）

• A、3
• B、

  7

  2

• C、4
• D、

  9

  2

Answer 1

分析：連續用基本不等式求最小值，由題設知(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2≥2（x+

1

2y

）×（y+

1

2x

）整理得知(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2≥2（xy+

1

4xy

+1），其中等號成立的條件是x=y，又xy+

1

4xy

≥2

xy× 1 4xy

=1等號成立的條件是xy=

1

4xy

與x=y聯立得兩次運用基本不等式等號成立的條件是x=y=

2

2

，計算出最值是4

解答：解：∵x，y是正數，
∴(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2≥2（xy+

1

4xy

+1），
等號成立的條件是x+

1

2y

=y+

1

2x

，
解得x=y，①
又xy+

1

4xy

≥2

xy× 1 4xy

=1
等號成立的條件是xy=

1

4xy

②
由①②聯立解得x=y=

2

2

，
即當x=y=

2

2

時(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2的最小值是4
故應選C．

點評：本題考查基本不等式，解題過程中兩次運用基本不等式，注意驗證兩次運用基本不等式時等號成立的條件是否相同，若相同時，代數式才能取到計算出的最小值，否則最小值取不到．本題是一道易錯題．