Question

【題目】如圖，多面體中，為正方形，，二面角的余弦值為，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）.

【解析】分析：（1）通過證明AD⊥DE，，推出平面，得到平面平面；；
（2）由（1）知，是二面角的平面角．以為坐標原點，所在直線為軸建立直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值求得平面與平面所成銳二面角的余弦值．

詳解：

（1）證明：∵，由勾股定理得：

又正方形中，且

∴平面，又∵面，

∴平面平面

（2）由（1）知是二面角的平面角

作于，則

且由平面平面，平面平面，面

所以，面

取中點，連結，則，如圖，建立空間直角坐標系，

則

∴

又，知的一個方向向量

設面法向量，則

取，得

又面一個法向量為：∴

設平面與平面所成銳二面角為，則