Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a_n是S_n與2的等差中項，數列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（Ⅰ）求數列{a_n}與{b_n}的通項a_n，b_n；
（Ⅱ）設數列{b_n}的前n項和為B_n，比較

1

B1

+

1

B2

+…

1

Bn

與2的大小．

Answer 1

分析：（I）由于a_n是S_n與2的等差中項，可得2a_n=S_n+2，利用當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n與a_n-1的關系，再利用等比數列的通項公式即可得出．由于點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，可得b_n-b_n+1+2=0即：b_n+1-b_n=2，再利用等差數列的通項公式即可得出．
（II）利用等差數列的前n項和公式可得B_n，再利用“放縮法”和“裂項求和”即可證明．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n是S_n與2的等差中項，∴2a_n=S_n+2 …①
當n=1時，a₁=2；
n≥2時，2a_n-1=S_n-1+2   …②；
∴由①-②得：a_n=2a_n-1
∴{a_n}是一個以2為首項，以2為公比的等比數列，
∴an=2n．
又∵點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0即：b_n+1-b_n=2，
又b₁=1，∴{b_n}是一個以1為首項，以2為公差的等差數列，
∴b_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：B_n=

n(2n-1+1)

2

=n²．
∴

1

Bn

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)，
∴

1

B1

+

1

B2

+…+

1

Bn

=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)
=2-

1

n

＜2．

點評：本題考查了“當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、“放縮法”和“裂項求和”，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．