【題目】已知數列
的前
項和為
，對于任意
滿足
，且
，數列
滿足
，
，其前
項和為
.
（1）求數列、的通項公式；
（2）令
，數列
的前項和為
，求證：對于任意正整數，都有
；
（3）將數列、的項按照“當為奇數時，
放在前面”，“當為偶數時，
放在前面”的要求進行“交叉排列”得到一個新的數列：
、
、
、
、
、
、
、
、
求這個新數列的前項和
.
【答案】（1）
，
；（2）證明見解析；（3）
.
【解析】
（1）由題意可知數列
為等差數列，確定該數列的首項和公差，可求出數列的通項公式，可求出
，再由
可求出數列
的通項公式，由等差中項法可知數列
為等差數列，從而可得出數列
為等比數列，且設該等比數列的公比為
，結合題中條件求出
和
的值，即可求出數列的通項公式；
（2）利用錯位相減法求出數列
的前
項和
，即可證明出
；
（3）求出數列的前項和
，對進行分類討論，利用等差數列和等比數列的求和公式可得出
.
（1）
且
，所以，數列是以
為首項，以
為公差的等差數列，
，
.
當
時，
.
也適合上式，所以，
.
，即
，
所以，數列為等差數列，設其公差為
，則
，
，所以，數列是正項等比數列，設其公比為，則
.
由題意可得
，解得
，
因此，
；
（2）
，
，①
則
，②
①
②得
，
化簡得
；
（3）數列的前項和為
，
數列的前項和為
，
①當
時，
；
②當
時，
，
特別地，當
時，
也適合上式；
③當
時，
.
綜上所述，.
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【題目】已知函數
，若在定義域內存在
，使得
成立，則稱為函數
的局部對稱點.
（1）若
、
且
，證明：函數
必有局部對稱點；
（2）若函數
在區間
內有局部對稱點，求實數
的取值范圍；
（3）若函數
在
上有局部對稱點，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知首項大于0的等差數列
的公差
，且
；
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列
滿足：
，
，
，其中
；
①求數列的通項
；
②是否存在實數
，使得數列為等比數列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（其中
為參數），曲線
的參數方程為
（其中為參數），以原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求曲線、的極坐標方程；
（2）射線
：
與曲線，分別交于點
，
（且點，均異于原點），當
時，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，某傳動裝置由兩個陀螺
，
組成，陀螺之間沒有滑動，每個陀螺都由具有公共軸的圓錐和圓柱兩個部分構成，每個圓柱的底面半徑和高都是相應圓錐底面半徑的
，且，的軸相互垂直，它們相接觸的直線與的軸所成角
，若陀螺中圓錐的底面半徑為
（
）；
（1）求陀螺的體積；
（2）當陀螺轉動一圈時，陀螺中圓錐底面圓周上一點
轉動到點
，求與之間的距離；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于數列
，若
（
是與
無關的常數,
）則稱數列叫做“弱等差數列”已知數列滿足：
且
,對于
恒成立，（其中
都是常數）
（1）求證：數列是“弱等差數列”，并求出數列的通項公式
（2）當
時，若數列是單調遞增數列，求
的取值范圍
（3）若
，且
，數列
滿足：
，求
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
、
、
、
（
），都在函數
（
，
）的圖像上；
（1）若數列
是等差數列，求證：數列
是等比數列；
（2）設
，函數
的反函數為
，若函數
與函數的圖像有公共點
，求證：在直線
上；
（3）設
，
（），過點
、
的直線
與兩坐標軸圍成的三角形面積為
，問：數列
是否存在最大項？若存在，求出最大項的值，若不存在，請說明理由；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某地區的“微信健步走”活動情況,現用分層抽樣的方法從中抽取老、中、青三個年齡段人員進行問卷調查.已知抽取的樣本同時滿足以下三個條件:
（i）老年人的人數多于中年人的人數;
（ii）中年人的人數多于青年人的人數;
（iii）青年人的人數的兩倍多于老年人的人數.
①若青年人的人數為4,則中年人的人數的最大值為___________.
②抽取的總人數的最小值為__________．
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