Question

2．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為e=$\sqrt{3}$，點為C上的一個動點，A₁A₂分別為的左、右頂點，則直線A₁P與直線A₂P的斜率之積為（　�。�

• A． -2
• B． 2
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由離心率公式和a，b，c的關系，可得a，b的關系，設P（m，n），代入雙曲線的方程，設A₁（-a，0），A₂（a，0），運用直線的斜率公式，化簡整理即可得到所求積．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為e=$\sqrt{3}$，
可得$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}$a，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
設P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
即有n²=b²•$\frac{{m}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$，
A₁（-a，0），A₂（a，0），
直線A₁P與直線A₂P的斜率之積為$\frac{n}{m+a}$•$\frac{n}{m-a}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$
=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=2，
故選：B．

點評 本題考查直線的斜率之積的求法，注意運用雙曲線的離心率公式和基本量a，b，c的關系，點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．