Question

已知函數f(x)=

3

cos(2x-

π

3

)+sin(2x-

π

3

)，
（1）若f（x）=1，求實數x的解集；
（2）將函數y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，再將得到的函數圖象上的各點橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數g（x），若g(x)=

6

5

，求cos(x+

π

6

)+cos(2x-

2π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=1求得sin2x=

1

2

，由此求得實數x的解集．
（2）利用同角三角函數的基本關系，兩角和差的正弦公式化簡函數f（x）的解析式為2sin2x，再根據函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，可得g（x）=2sin（x-

π

3

），由g（x）=

6

5

可得，sin(x-

π

3

)=

3

5

．再把要求的式子化為

-sin(x- π 3 )+1-2sin2(x- π 3 )

，運算求得結果．

解答：解：（1）由f（x）=2sin2x=1，可得sin2x=

1

2

，解得x=

π

12

+kπ，或x=

5π

12

+kπ，k∈Z，
故實數x的解集為{x|x=

π

12

+kπ，或x=

5π

12

+kπ}，k∈Z．
（2）∵函數f(x)=

3

cos(2x-

π

3

)+sin(2x-

π

3

)=2[

3

2

cos（2x-

π

3

）+

1

2

sin（2x-

π

3

）]
=2sin（2x-

π

3

+

π

3

）=2sin2x．
將函數y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到函數y=2sin2（x-

π

6

）=2sin（2x-

π

3

）的圖象，
再將得到的函數圖象上的各點橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數g（x）=2sin[2•

1

2

•x-

π

3

）]=2sin（x-

π

3

）的圖象，
由g（x）=

6

5

 可得，sin(x-

π

3

)=

3

5

，
∴cos(x+

π

6

)+cos(2x-

2π

3

)=

-sin(x+ π 6 - π 2 )+cos(2(x- π 3 ))=-sin(x- π 3 )+1-2sin2(x- π 3 )

=-

3

5

+1-2×

9

25

=-

8

25

．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角和差的正弦公式，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，屬于中檔題．