Question

如圖，ABCD和ABEF都是邊長為1的正方形，AM=FN，現將兩個正方形沿AB折成一個直二面角，O∈AB，平面MON∥平面CBE．

（1）求角MON大小；
（2）設AO=x，當x為何值時，三棱錐A-MON的體積V最大？并求出最大值．

Answer 1

解：（1）∵平面MON∥平面CBE
∴MO∥BC，ON∥BE
從而MO⊥AB，ON⊥AB
∴∠MON是二面角C-AB-E的平面角
∴∠MON=90°…6分；
（2）∵MO=AO=x，ON=1-x，AO⊥平面MON
∴V=•x•（1-x）•x=（-x³+x²）（0＜x＜1）…4分
則V′=-x（x-）
∵0＜x＜時，V′＞0，＜x＜1時，V′＜0…2分
∴當x=時，V取得極大值，極大值為
即當x=時，V有最大值為…2分
分析：（1）由已知中平面MON∥平面CBE，ABCD和ABEF都是邊長為1的正方形，我們易得MO⊥AB，ON⊥AB，則∠MON是二面角C-AB-E的平面角，由兩個正方形沿AB折成一個直二面角，可得角MON大小；
（2）由MO=AO=x，ON=1-x，AO⊥平面MON，我們易構造出三棱錐A-MON的體積V的表達式，利用導數法，我們判斷出函數的單調性進而可以求出函數的最大值．
點評：本題考查的知識點是與二面角有關的立體幾何綜合題，利用導數求閉區間上函數的最值，其中（1）的關鍵是確定出∠MON是二面角C-AB-E的平面角，（2）的關鍵是構造出三棱錐A-MON的體積V的表達式．