Question

如圖，ABCD和ABEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，AM=FN，現(xiàn)將兩個(gè)正方形沿AB折成一個(gè)直二面角，O∈AB，平面MON∥平面CBE．

（1）求角MON大小；
（2）設(shè)AO=x，當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐A-MON的體積V最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中平面MON∥平面CBE，ABCD和ABEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，我們易得MO⊥AB，ON⊥AB，則∠MON是二面角C-AB-E的平面角，由兩個(gè)正方形沿AB折成一個(gè)直二面角，可得角MON大小；
（2）由MO=AO=x，ON=1-x，AO⊥平面MON，我們易構(gòu)造出三棱錐A-MON的體積V的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)法，我們判斷出函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可以求出函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）∵平面MON∥平面CBE
∴MO∥BC，ON∥BE
從而MO⊥AB，ON⊥AB
∴∠MON是二面角C-AB-E的平面角
∴∠MON=90°…6分；
（2）∵M(jìn)O=AO=x，ON=1-x，AO⊥平面MON
∴V=

1

3

•

1

2

x•（1-x）•x=

1

6

（-x³+x²）（0＜x＜1）…4分
則V′=-

1

2

x（x-

2

3

）
∵0＜x＜

2

3

時(shí)，V′＞0，

2

3

＜x＜1時(shí)，V′＜0…2分
∴當(dāng)x=

2

3

時(shí)，V取得極大值，極大值為

2

81

即當(dāng)x=

2

3

時(shí)，V有最大值為

2

81

…2分

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，其中（1）的關(guān)鍵是確定出∠MON是二面角C-AB-E的平面角，（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造出三棱錐A-MON的體積V的表達(dá)式．