Question

如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2．

（Ⅰ）求證：AE//平面DCF；

（Ⅱ）當AB的長為何值時,二面角A-EF-C的大小為．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）.

【解析】由于理科有空間向量的知識，在解決立體幾何試題時就有兩套根據可以使用，這為考生選擇解題方案提供了方便，但使用空間向量的方法解決立體幾何問題也有其相對的缺陷，那就是空間向量的運算問題，空間向量有三個分坐標，在進行運算時極易出現錯誤，而且空間向量方法證明平行和垂直問題的優勢并不明顯，所以在復習立體幾何時，不要純粹以空間向量為解題的工具，要注意綜合幾何法的應用。（1）只要過點作的平行線即可；（2）由于點是點在平面內的射影，只要過點作的垂線即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具體的計算問題。或者建立空間直角坐標系，使用法向量的方法求解。

方法一：（Ⅰ）證明：過點作交于，連結，

可得四邊形為矩形，又為矩形，所以，從而四邊形為平行四邊形，故．因為平面，平面，

所以平面．………6分

（Ⅱ）解：過點作交的延長線于，連結．

由平面平面，，得平面，

從而．所以為二面角的平面角．

在中，因為，，

所以，．又因為，所以，

從而，于是，

因為所以當為時，

二面角的大小為………12分

方法二：如圖，以點為坐標原點，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系．設，

則，，，，．

（Ⅰ）證明：，，，

所以，，從而，，

所以平面．因為平面，所以平面平面．

故平面．………6分

（Ⅱ）解：因為，，所以，，從而

解得．所以，．設與平面垂直，

則，，解得．又因為平面，，所以，

得到．所以當為時，二面角的大小為．………12分