Question

甲、乙兩位同學做摸球游戲．游戲規則規定：兩人輪流從一個放有2個紅球，3個黃球，1個白球的6個小球（只有顏色不同）的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一個后立即放回，另一人接著取，取出后也立即放回，誰先取到紅球，誰為勝者，現甲先取．
（Ⅰ）求甲取球次數不超過二次就獲勝的概率．
（Ⅱ）若直到甲第n次取出球時，恰好分出勝負的概率等于

64

2187

，求甲的取球次數．

Answer 1

解（Ⅰ）設“甲取球次數不超過二次就獲勝”為事件A，
根據題意，兩人每次抽到紅球的概率都為

2

6

=

1

3

，則抽不到紅球的概率為1-

1

3

=

2

3

，
則A有兩種情況：①甲第一次取球就得紅球，其概率P₁=

1

3

，
②甲第二次取球得紅球，其概率P₂=

2

3

×

2

3

×

1

3

=

4

27

，
則P（A）=P₁+P₂=

1

3

+

4

27

=

13

27

，
甲取球次數不超過二次就獲勝的概率

13

27

（Ⅱ）由題意可得：若直到甲第n次取出球時，恰好分出勝負，
則甲在前n-1抽取中，抽到的都不是紅球，同時乙也抽了n-1次，也沒有抽到紅球，
則有(

2

3

)n-1•(

2

3

)n-1•

1

3

=

64

2187

，
解得n=4
故甲取球次數為4次．