Question

甲、乙兩位同學(xué)做摸球游戲．游戲規(guī)則規(guī)定：兩人輪流從一個(gè)放有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，1個(gè)白球的6個(gè)小球（只有顏色不同）的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一個(gè)后立即放回，另一人接著取，取出后也立即放回，誰(shuí)先取到紅球，誰(shuí)為勝者，現(xiàn)甲先取．
（Ⅰ）求甲取球次數(shù)不超過(guò)二次就獲勝的概率．
（Ⅱ）若直到甲第n次取出球時(shí)，恰好分出勝負(fù)的概率等于

64

2187

，求甲的取球次數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)“甲取球次數(shù)不超過(guò)二次就獲勝”為事件A，進(jìn)而計(jì)算可得兩人每次抽到紅球與抽不到紅球的概率，分析可得A有兩種情況：①甲第一次取球就得紅球，②甲第二次取球得紅球，由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，計(jì)算可得每種情況的概率，進(jìn)而由互斥事件概率的加法公式，計(jì)算可得答案；
（Ⅱ）若直到甲第n次取出球時(shí)，恰好分出勝負(fù)，則甲在前n-1抽取中，抽到的都不是紅球，同時(shí)乙也抽了n-1次，也沒(méi)有抽到紅球，即可得關(guān)于n的表達(dá)式，解可得答案．

解答：解（Ⅰ）設(shè)“甲取球次數(shù)不超過(guò)二次就獲勝”為事件A，
根據(jù)題意，兩人每次抽到紅球的概率都為

2

6

=

1

3

，則抽不到紅球的概率為1-

1

3

=

2

3

，
則A有兩種情況：①甲第一次取球就得紅球，其概率P₁=

1

3

，
②甲第二次取球得紅球，其概率P₂=

2

3

×

2

3

×

1

3

=

4

27

，
則P（A）=P₁+P₂=

1

3

+

4

27

=

13

27

，
甲取球次數(shù)不超過(guò)二次就獲勝的概率

13

27

（Ⅱ）由題意可得：若直到甲第n次取出球時(shí)，恰好分出勝負(fù)，
則甲在前n-1抽取中，抽到的都不是紅球，同時(shí)乙也抽了n-1次，也沒(méi)有抽到紅球，
則有(

2

3

)n-1•(

2

3

)n-1•

1

3

=

64

2187

，
解得n=4
故甲取球次數(shù)為4次．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件的概率的計(jì)算，注意（Ⅱ）中，要根據(jù)題意，由甲抽取的情況來(lái)分析乙的抽取的次數(shù)．