Question

橢圓（a＞b＞0）與x軸，y軸的正半輛分別交于A，B兩點，原點O到直線AB的距離為，該橢圓的離心率為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點的直線l與橢圓交于兩個不同的點M，N，求線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設直線AB的方程為bx+ay-ab=0
∵原點O到直線AB的距離為，∴①
∵橢圓的離心率為，∴②
由①②可得：a=2，b=1
∴橢圓的方程為；
（Ⅱ）當直線斜率不存在時，線段MN的垂直平分線的縱截距為0
當直線斜率k存在時，設直線l的方程為，代入，消去y得（9+36k²）x²+120kx+64=0
∵△=14400k²-256（9+36k²）＞0，∴
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為Q（x₀，y₀）
∴=，
∴Q
∴線段MN的垂直平分線方程為
令x=0，則y=，
由，可得-
∴線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍為．
分析：（Ⅰ）設直線AB的方程為bx+ay-ab=0，利用原點O到直線AB的距離為，橢圓的離心率為，建立方程可求a、b的值，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）當直線斜率不存在時，線段MN的垂直平分線的縱截距為0；當直線斜率k存在時，設直線l的方程為，代入，消去y得（9+36k²）x²+120kx+64=0，進而可求線段MN的垂直平分線方程，由此即可求得線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍．
點評：本題綜合考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是確定線段MN的垂直平分線．