Question

12、已知（x+x^-1）ⁿ的展開式中各項系數的和是128，則n=

7

；展開式中x³的系數是

21

．（用數字作答）

Answer 1

分析：利用賦值法求出展開式中各項系數和，列出方程解出n；利用展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為3得展開式中x³的系數

解答：解：在（x+x^-1）ⁿ的展開式中，
令x=1得展開式的各項系數和為2ⁿ
∵（x+x^-1）ⁿ的展開式中各項系數的和是128
∴2ⁿ=128
∴n=7
∴（x+x^-1）ⁿ=（x+x^-1）⁷的展開式的通項為T_r+1=C₇^rx^7-r（x^-1）^r=C₇^rx^7-2r
令7-2r=3得r=2
故展開式中x³的系數是C₇²=21
故答案為7，21

點評：本題考查利用賦值法求展開式的各項系數和；利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．