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已知f(x)在(-1,1)上有定義f()=1,對于x,y∈(-1,1)有f(x)-f(y)=f()恒成立,對數列{xn}有x1=,xn+1=(n∈N*).

(1)證明:f(x)在(-1,1)上為奇函數;

(2)求f(xn)的表達式;

(3)是否存在自然數m,使得對于任意n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值.

(1)當x=y=0時,f(0)=0,再令x=0得f(0)-f(y)=f(-y),即f(y)+f(-y)=0

∴f(x)在(-1,1)上為奇函數.

(2)由x1=,xn+1=(n∈N*)易知{xn}中0<xn<1,

∵f(xn)-f(-xn)=f()且f(x)在(-1,1)上為奇函數

∴f(xn+1)=2f(xn),由f()=1,x1=

∴f(x1)=1

∴{f(xn)}是以1為首項、2為公比的等比數列

∴f(xn)=2n-1

(3)

假設存在m使得恒成立,即2恒成立,

∵2<2,∴≥2,∴m≥16,∴存在自然數m≥16,使得+…+ 成立,此時最小的自然數m=16.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知f(x)=(
1
ax-1
+
1
2
)x(a>0,a≠1)

(1)討論f(x)的奇偶性;
(2)若f(x)>0在定義域上恒成立,求實數a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知f(x)在(-1,1)上有定義,f()=1,且滿足當x,y∈(-1,1)時,有f(x)-f(y)=f(),數列{xn}中有x1,xn+1.

(1)證明f(x)在(-1,1)上為奇函數;

(2)求f(xn)的表達式;

(3)是否存在自然數m,使得對于任意n∈N*,有++…+成立?若存在,求出m的最小值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知f(x)在(-1,1)上有定義,f()=1且滿足x,y∈(-1,1)時有f(x)-f(y)=f(),對數列{xn}滿足x1=,xn+1=.

(1)求f(0)的值,并證明f(x)在(-1,1)上為奇函數;

(2)探索f(xn+1)與f(xn)的關系式,并求f(xn)的表達式;

(3)是否存在自然數m,使得對于任意的n∈N*++…+恒成立?若存在,求出m的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知f(x)在(-1,1)上有定義,f()=1且滿足x,y∈(-1,1)時有f(x)-f(y)=f(),若數列{xn}滿足x1=,xn+1=.

(1)求f(0)的值,并證明f(x)在(-1,1)上為奇函數;

(2)探索f(xn+1)與f(xn)的關系式,并求f(xn)的表達式;

(3)是否存在自然數m,使得對于任意的n∈N*,有+++…+恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,請說明理由.

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同步練習冊答案
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