Question

已知：（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ（n≥2，n∈N^*）
（1）當n=5時，求a₂的值．
（2）設Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

a0-1

，求證：

n

2

＜Sn≤n，n∈N*．

Answer 1

分析：（1）將n=5代入（x+1）ⁿ中，變形可得[（x-1）+1]⁵，則a₂為其展開式中（x-1）²的系數，由二項式定理可得答案；
（2）由于與二項式有關，故可采用賦值法．取x=1，則a₀=2ⁿ，從而可求S_n，再用數學歸納法證明即可，只不過需注意假設n=k時成立，求當n=k+1時，S_n增加2^k+1-2^k=2^k項．

解答：解：（1）根據題意，（x+1）⁵=[2+（x-1）]⁵=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₅（x-1）⁵，
則a₂（x-1）²=C₅²2^5-2（x-1）²
故a₂=80；
（2）在：（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ中，
令x=1，可得a₀=2ⁿ，
則Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

a0-1

=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

，
①當n=2時，S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

=1+

1

2

+

1

3

，顯然1＜S_n≤2
故當n=2時，滿足

n

2

＜Sn≤n
②假設當n=k（k＞2，k∈N）時，滿足

n

2

＜Sn≤n，
即

k

2

＜S_k=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

≤k成立，
當n=k+1（k＞2，k∈N）時，
S_k+1=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+…+

1

2k+1-1

＞

k

2

+

1

2k

+…+

1

2k+1-1

＞

k

2

+

1

2k

+…+

1

2k+1-2

＞

k

2

+

1

2

×（

1

2k-1

+

1

2k

…+

1

2k-1

）
＞

k

2

+

1

2

=

k+1

2

S_k+1=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+…+

1

2k+1-1

≤k+

1

2k

+…+

1

2k+1-1

≤k+1
故當n=k+1（k＞2，k∈N）時，

k+1

2

＜S_k+1≤k+1
綜合①②可知，

n

2

＜Sn≤n，n∈N*，n≥2．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，注意根據題意，分析所給代數式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數和，可以簡便的求出答案，同時考查了數學歸納法，屬于中檔題．