Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足Sn=

1

2

n2+

3

2

n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令bn=

an

2n-1

求數列{b_n}的前n項和T_n
（3）令cn=

an

an+1

+

an+1

an

證明：2n＜c₁+c₂+…cn＜2n+

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根據數列{a_n}的前n項和S_n滿足Sn=

1

2

n2+

3

2

n（n∈N^*），利用n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，結合n=1時，a₁=S₁=2，可求數列

a

n

的通項公式a_n；
（2）根據數列{b_n}通項的特點，利用錯位相減法，可求數列{b_n}的前n項和T_n
（3）根據cn=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=

n+1

n+2

+

n+1+1

n+1

=

n+1

n+2

+

1

n+1

+1＞1，可證不等式的左邊；根據cn=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=

n+2-1

n+2

+

n+1+1

n+1

=2-

1

n+1

+

1

n+2

，可證不等式的右邊．

解答：解：（1）n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

2

n2+

3

2

n-

1

2

(n-1)2-

3

2

(n-1)=n+1
n=1時，a₁=S₁=2，也滿足上式
∴a_n=n+1（n∈N^*）．
（2）bn=

an

2n-1

=

n+1

2n-1

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

2

20

+ 

3

21

+…+ 

n+1

2n-1

①

1

2

Tn=

2

21

+

3

22

+…+

n+1

2n

②
①-②得

1

2

Tn=

2

20

+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n+1

2n

∴

1

2

Tn=3-

2

2n

-

n+1

2n

∴Tn=6-

4

2n

-

n+1

2n-1

（3）∵cn=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=

n+1

n+2

+

n+1+1

n+1

=

n+1

n+2

+

1

n+1

+1＞1
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n，
∵cn=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=

n+2-1

n+2

+

n+1+1

n+1

=2-

1

n+1

+

1

n+2

∴c₁+c₂+…+c_n=2n+

1

n+2

-

1

2

≤2n+

1

3

-

1

2

＜2n+

1

2

∴2n＜c₁+c₂+…cn＜2n+

1

2

．

點評：本題考查的重點是數列與不等式的綜合，解題的關鍵是根據數列{a_n}的前n項和S_n滿足Sn=

1

2

n2+

3

2

n（n∈N^*），利用n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，利用錯位相減法求數列的和，注意不等式證明中的適當放縮．