Question

已知直線l：（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0及點P（3，4）．
（1）證明直線l過某定點，并求該定點的坐標．
（2）當點P到直線l的距離最大時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線l方程化成a（2x+y+1）+b（x+y-1）=0，再聯解關于x、y的方程組，即可得到直線l經過的定點坐標；
（2）設直線l經過的定點為A，由平面幾何知識，得到當PA⊥l時，點P到直線l的距離最大．因此算出直線PA的斜率，再利用垂直直線斜率的關系算出直線l的斜率，即可求出此時直線l的方程．
解答：解：（1）直線l方程可化為：a（2x+y+1）+b（x+y-1）=0
由，解得x=-2且y=3，
∴直線恒l過定點A，其坐標為（-2，3）．
（2）∵直線恒l過定點A（-2，3）
∴當點P在直線l上的射影點恰好是A時，
即PA⊥l時，點P到直線l的距離最大
∵PA的斜率k_PA==
∴直線l的斜率k==-5
由此可得點P到直線l的距離最大時，
直線l的方程為y-3=-5（x+2），即5x+y+7=0．
點評：本題給出直線經過定點，求直線外一點P到直線的距離最大時直線的方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、點到直線的距離公式等知識，屬于基礎題．