Question

設等差數列{a_n}的各項均為整數，其公差d≠0，a₅=6．
（Ⅰ）若a₂•a₁₀＞0，求d的值；
（Ⅱ）若a₃=2，且（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比數列，求n_t；
（Ⅲ）若（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比數列，求n₁的取值集合．

Answer 1

【答案】分析：（I）要求d，則用“a₅，d”表示a₂•a₁₀＞0，再由各項均為整數從而求得d；
（II）因為成等比數列且知道首項，故先求出公比，再用通項公式求解；
（III）與（II）思路相同，區別在于過程中用a₃表示．
解答：（Ⅰ）解：因為等差數列{a_n}的各項均為整數，所以d∈Z．（1分）
由a₂•a₁₀＞0，得（a₅-3d）（a₅+5d）＞0，即（3d-6）（5d+6）＜0，解得．
注意到d∈Z，且d≠0，所以d=-1，或d=1．（3分）
（Ⅱ）解：由a₃=2，a₅=6，得，
從而a_n=a₃+（n-3）d=2+（n-3）×2=2n-4，故．（5分）
由，成等比數列，得此等比數列的公比為，
從而
由2n_t-4=2•3^t+1，解得n_t=3^t+1+2，t=1，2，3，．（7分）
（Ⅲ）解：由，得．
由，成等比數列，得．
由，化簡整理得（9分）
因為n₁＞5，從而a₃＞0，
又n₁∈Z且d≠0，從而a₃是12的非6的正約數，故a₃=1，2，3，4，12．（10分）
①當a₃=1或a₃=3時，，
這與{a_n}的各項均為整數相矛盾，所以，a₃≠1且a₃≠3．（11分）
②當a₃=4時，由，
但此時，這與{a_n}的各項均為整數相矛盾，所以，a₃≠4．（12分）
③當a₃=12時，同理可檢驗a_n2∉Z，所以，a₃≠12．（13分）
當a₃=2時，由（Ⅱ）知符合題意．
綜上，n₁的取值只能是n₁=11，即n₁的取值集合是{11}．（14分）
點評：本題主要考查等差、等比數列的概念以及分類討論的思想．