Question

已知函數(shù)f（x）=

x+1

e2x

．
（1）當x∈R時，求f（x）的最大值；
（2）當x≥0時，若（x+1）f（x）≤m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=

x+1

e2x

，可得f′（x）=

-2x-1

e2x

，令f′（x）=0，則x=-

1

2

，進而分析函數(shù)的單調(diào)性，可得當x=-

1

2

時，函數(shù)f（x）取最大值；
（2）（x+1）f（x）=

(x+1)2

e2x

=(

x+1

ex

)2，令g（x）=

x+1

ex

，可得函數(shù)g（x）在x≥0時恒為正，利用導數(shù)法求出函數(shù)g（x）的最大值，結(jié)合（x+1）f（x）≤m恒成立，可得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

x+1

e2x

．
∴f′（x）=

-2x-1

e2x

，
令f′（x）=0，則x=-

1

2

，
∵x＜-

1

2

時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
x＞-

1

2

時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
故當x=-

1

2

時，函數(shù)f（x）取最大值

e

2

；
（2）（x+1）f（x）=

(x+1)2

e2x

=(

x+1

ex

)2，
令g（x）=

x+1

ex

，則g′（x）=

-x

ex

，
當x≥0時，g′（x）≤0恒成立，
故當x=0時，g（x）=

x+1

ex

取最大值1，
此時（x+1）f（x）取最大值1，
若（x+1）f（x）≤m恒成立，
則m≥1；

點評：本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，利用導數(shù)法求函數(shù)的最值，難度中檔．