Question

已知函數y=

2-x 2+x

+

2x-2

的定義域為M，
（1）求M；
（2）當x∈M時，求函數f(x)=log2x•log2(x2)+a•log2x的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據根號有意義的條件和分母不能為0，求出函數的定義域；
（2）利用換元法，t=log₂x，可得g（t）=2t²+at，利用二次函數的圖象和性質求出最值；

解答：解：（1）函數y=

2-x 2+x

+

2x-2

有意義，故
可得

(x-2)(2-x)≤0 2x-2≥0 x≠-2

解得x∈[1，2]；
（2）f(x)=log2x•log2(x2)+a•log2x，令t=log₂x，
可得：g（t）=2t²+at，t∈[0，1]，討論對稱軸可得：
對稱軸x=-

a

4

，
若-

a

4

≤

1

2

即a≥-2，f（x）_max=f（1）=a+2；
若-

a

4

＞

1

2

即a＜-2，f（x）_max=f（0）=0；
∴g（t）_max=

2+a，a≥-2 0    ，a＜-2

；
∴函數f(x)=log2x•log2(x2)+a•log2x的最大值為：g（x）_max=

2+a，a≥-2 0    ，a＜-2

點評：此題考查函數的定義域及其求法，以及利用換元法求函數的最值問題，是一道基礎題；