Question

已知函數y=

2-x 2+x

+lg(-x2+4x-3)的定義域為M．
（1）求M；
（2）當x∈M時，求函數f（x）=a•2^x+2+3•4^x（a＜-3）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用被開方數非負，真數大于0，建立不等式組，即可求得函數的定義域；
（2）換元，利用配方法，結合函數的定義域，分類討論，即可求得結論．

解答：解：（1）由題意，

2-x 2+x ≥0 -x2+4x-3＞0

，解得1≤x≤2，∴M=（1，2]；
（2）令t=2^x（t∈（2，4]），f（x）=g（t）=-4at+3t²=3（t+

2a

3

）²-

4a2

3

1°-6＜a＜-3，即2＜-

2a

3

＜4時，g（t）_min=g（-

2a

3

）=-

4a2

3

；
2°a≤-6，即-

2a

3

≥4時，g（t）_min=g（4）=48+16a
∴f（x）_min=

48+16a，a≤-6 - 4a2 3 ，-6＜a＜-3

．

點評：本題考查函數的定義域，考查函數的最值，考查配方法的運用，屬于中檔題．