Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側面是等邊三角形，且平面平面，為的中點，，，，．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取中點，由中位線性質可知且，由此可得，證得，根據線面平行的判定定理即可證得結論；

（2）取中點，由面面垂直性質可知平面，結合平行關系知，由此可建立以為原點的空間直角坐標系，利用二面角的向量求法求得結果.

（1）取中點，連結，

分別為中點， 且

又，

四邊形為平行四邊形

平面，平面 平面

（2）取中點，連接，

等邊三角形

平面平面，平面平面，平面

， 四邊形為平行四邊形

則以為坐標原點，可建立如圖所示空間直角坐標系

則，，，，

，

設平面的一個法向量為

則，令，則，

顯然，平面的一個法向量為

二面角為銳二面角 二面角的余弦值為