Question

已知角α，β∈（-

π

2

，

π

2

），且α，β，

π

2

依次成等差數列，若cosβ=

6

3

，則sinα•sinβ的值為

-

3

9

．

Answer 1

分析：由α，β，

π

2

依次成等差數列，結合α，β∈（-

π

2

，

π

2

），可知β為銳角，由cosβ=

6

3

求出sinβ，再利用α=2β-

π

2

，借助于誘導公式和二倍角的余弦公式求解sinα，則答案可求．

解答：解：∵α，β，

π

2

依次成等差數列，∴α+

π

2

=2β，∵α∈（-

π

2

，

π

2

），∴β∈（0，

π

2

）．
由cosβ=

6

3

，sinβ=

1-cos2β

=

1-( 6 3 )2

=

3

3

．
α=2β-

π

2

，∴sinα=sin(2β-

π

2

)=-cos2β=1-2cos²β=1-2×(

6

3

)2=-

1

3

．
∴sinα•sinβ的值為-

1

3

×

3

3

=-

3

9

．
故答案為：-

3

9

．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，考查了同角三角函數的基本關系式與誘導公式，解答此題的關鍵在于分析出角β的范圍，屬中檔題，也是易錯題．