Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c且cosA=-

1

4

，a=4，b=3
（1）求：邊c；   
（2）求：

sinA+sinB+sinC

a+b+c

的值；   
（3）求：△ABC內切圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，結合題意得到關于邊c的方程，解之即可得到邊c的值；
（2）由同角三角函數的關系算出sinA=

15

4

，結合正弦定理代入題中數據，即可算出

sinA+sinB+sinC

a+b+c

的值；
（3）根據正弦定理的面積公式，算出S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3 15

4

，再由三角形面積關于內切圓半徑r的公式加以計算，即可得到△ABC內切圓的半徑r的值．

解答：解：（1）由余弦定理得　a²=b²+c²-2bccosA
即4²=3²+c²-6c•（-

1

4

），
化簡得2c²+3c-14=0，解之得c=2（舍負）…（4分）
（2）sinA=

1-cos2A

=

15

4

由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，得

sinA+sinB+sinC

a+b+c

=

sinA

a

=

15 4

4

=

15

16

…（8分）
（3）由正弦定理的面積公式，得
S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×3×2×

15

4

=

3 15

4

另一方面，S_△ABC=

1

2

（a+b+c）r
∴△ABC內切圓的半徑r=

2S△ABC

a+b+c

=

2× 3 15 4

2+3+4

=

15

6

…（12分）

點評：本題給出三角形的兩邊和其中一邊的對角，求第三邊并求內切圓半徑．著重考查了同角三角函數的關系，利用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．