Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2-（+1）a_n（n≥1）．
（1）求證：數列{}是等比數列；
（2）設數列{2ⁿa_n}的前n項和為T_n，A_n=．試比較A_n與的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁=S₁=2-3a₁得a₁=，由S_n=2-（+1）a_n得S_n-1=2-（+1）a_n-1，由此能證明數列{}是等比數列．
（2）由=×=，知2ⁿa_n=n，T_n=1+2+3+…+n=，，A_n=2[（1-）+（-）+…+=2（1-）=．又=，問題轉化為比較與的大小．
解答：解：（1）由a₁=S₁=2-3a₁得a₁=，
由S_n=2-（+1）a_n得S_n-1=2-（+1）a_n-1，
于是a_n=S_n-S_n-1=（+1）a_n-1-（+1）a_n，
整理得=×（n≥2），
所以數列{}是首項及公比均為的等比數列．
（2）由（Ⅰ）得=×=．
于是2ⁿa_n=n，T_n=1+2+3+…+n=，
，
A_n=2[（1-）+（-）+…+=2（1-）=．

又=，問題轉化為比較與的大小，即與的大小．
設f（n）=，g（n）=．
∵f（n+1）-f（n）=，當n≥3時，f（n+1）-f（n）＞0，
∴當n≥3時f（n）單調遞增，
∴當n≥4時，f（n）≥f（4）=1，而g（n）＜1，∴當n≥4時f（n）＞g（n），
經檢驗n=1，2，3時，仍有f（n）≥g（n），
因此，對任意正整數n，都有f（n）＞g（n），
即A_n＜．
點評：本題考查數列的等比數列的證明方法和數列與不等式的綜合運用，解題時要注意合理地進行等價轉化．