Question

【題目】已知四棱錐，底面是邊長為的菱形， ， 為的中點， ，

與平面所成角的正弦值為.

(1)在棱上求一點，使平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1) 為中點；(2) .

【解析】試題分析 : (1) 以為軸， 為軸，建立空間直角坐標系.

其中： ， ， ， ， ，

.求出平面的法向量 由已知可得

，因此，故

設， ， ，則： .

求出平面的法向量.，因此，

(2)由（1）可知平面的法向量，平面的法向量，

則由二面角為銳二面角，因此，二面角的余弦值為.

試題解析:

(1)以為軸， 為軸， 與的交點為，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系.

其中： ， ， ， ， ，

.

設平面的法向量， ， .

所以所以

所以，

因此，故

設， ， ，則： .

設平面的法向量為， ，

所以故.

，所以，因此，所以為中點.

(2)平面的法向量，平面的法向量，

由二面角為銳二面角，因此，二面角的余弦值為.