Question

F₁，F(xiàn)₂為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a≠b)的兩焦點(diǎn)，P是右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則△PF₁F₂的內(nèi)切圓圓心一定在（　　）

A．雙曲線右支上

B．直線OP上

C．直線x=b

D．直線x=a上

Answer 1

分析：設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓分別與PF₁、PF₂切于點(diǎn)A、B，與F₁F₂切于點(diǎn)M，則|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，又點(diǎn)P在雙曲線右支上⇒|PF₁|-|PF₂|=2a⇒|F₁M|-|F₂M|=2a．而|F₁M|+|F₂M|=2c，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則由|F₁M|-|F₂M|=2a，⇒（x+c）-（c-x）=2a，可解得x=a，顯然內(nèi)切圓的圓心與點(diǎn)M的連線垂直于x軸，于是問(wèn)題解決．

解答：解：設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓分別與PF₁、PF₂切于點(diǎn)A、B，與F₁F₂切于點(diǎn)M，
則|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|．
又點(diǎn)P在雙曲線右支上，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a，即（|PA|+|F₁A|）-（|PB|+|F₂B|）=2a，
∴|F₁M|-|F₂M|=2a，而|F₁M|+|F₂M|=2c，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），
∵|F₁M|-|F₂M|=2a，
∴（x+c）-（c-x）=2a，解得x=a，
又內(nèi)切圓的圓心與點(diǎn)M的連線垂直于x軸，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓錐曲線的綜合與雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，難點(diǎn)在于“|PF₁|-|PF₂|=2a⇒|F₁M|-|F₂M|=2a”的分析與應(yīng)用，著重考查雙曲線的定義與性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于難題．