Question

已知拋物線C：，過C上一點M，且與M處的切線垂直的直線稱為C在點M的法線．

（1）若C在點M的法線的斜率為，求點M的坐標（x₀，y₀）；

（2）設P（－2，a）為C對稱軸上的一點，在C上是否存在點，使得C在該點的法線通過點P？若有，求出這些點，以及C在這些點的法線方程；若沒有，請說明理由.

Answer 1

（1）M（－1，）

（2）有三個點（－2＋，），（－2－，）及（－2，－），

且過這三點的法線過點P（－2，a），其方程分別為：

x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2

解析:

（1）由題意設過點M的切線方程為：，代入C得，

則，，即M（－1，）．

（2）當a＞0時，假設在C上存在點滿足條件．

設過Q的切線方程為：，代入

，則，

且．若時，由于

，

∴ 或  ；若k=0時，顯然也滿足要求．

∴有三個點（－2＋，），（－2－，）及（－2，－），

且過這三點的法線過點P（－2，a），其方程分別為：

x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2.

當a≤0時，在C上有一個點（－2，－），在這點的法線過點P（－2，a），

其方程為：x＝－2.