Question

【題目】已知定點，動點與、兩點連線的斜率之積為.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）已知點是軌跡上的動點，點在直線上，且滿足（其中為坐標原點），求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設點，則，且，化簡即可得出答案；

（2）由題意，當點在橢圓的左右頂點位置時，易求出面積；當點不在橢圓的左右頂點位置時，設直線的斜率，聯立直線與橢圓的方程可求得，同理可求得，再利用換元法即可求出面積的最值．

解：（1）設點，則，且，

所以，

化簡得，

故點的軌跡的方程為；

（2）因為，所以，

當點在橢圓的左右頂點位置時，；

當點不在橢圓的左右頂點位置時，直線的斜率存在且不為0，

設為，則的方程為，

解得所以，

此時的方程為，所以，

，

令，則，且，

所以，，

綜上可知，面積的最小值為．