Question

已知a，b∈R⁺，且2a+b=1則2

ab

-4a2-b2的最大值是

2 -1

2

．

Answer 1

分析：由2a+b=1 得 4a²+b²=1-4ab，從而得到S=2

ab

-4a2-b2=4ab+2

ab

-1，令

ab

=t＞0，建立S關于t的二次函數，利用二次函數性質可得S的最大值．

解答：解：∵2a+b=1，∴4a²+b²=1-4ab，
∴S=2

ab

-4a2-b2=4ab+2

ab

-1，
令

ab

=t＞0，
則 S=4 (t+

1

4

)2-

5

4

，
∵2a+b=1，∴1≥2

2ab

⇒0＜t≤

2

4

故 當t=

2

4

時，S有最大值為：

2 -1

2

故答案為：

2 -1

2

．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、一元二次不等式的解法、二次函數的最值等基礎知識，考查運算求解能力，考查換元的思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．