Question

　　已知拋物線的焦點為F，準線為l，是否存在雙曲線C，同時滿足以下兩個條件：

　　（1）雙曲線C的一個焦點為F，相應于F的準線為l

　　（2）雙曲線C上有A、B兩點關于直線對稱，且

　　若存在這樣的雙曲線，求出該雙曲線C的方程；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：假設滿足題意的雙曲線C存在，并設其離心率為e，AB的中點坐標為，點A的坐標為，則點B的坐標為，．因為直線AB的斜率，且，所以由此解到或不失一般性，取，由于F（0，0）和l：x是對應的焦點和準線，所以＝ ，解到a＝-１，e＝2．故滿足題意的雙曲線C存在，其方程為，即　另解：由題意得：焦點F（0，0），準線l：x．設雙曲線離心率為e，則由可得雙曲線方程為：①設直線AB方程為：②，則由①②得③設AB中點為則有，由可解得則③式化為又由可得e＝2代入①即得