Question

在拋物線y²=2x上求一點P，使其到直線l：x+y+4=0的最距離最小，并求最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設P（x，y）為該拋物線上任一點，利用點到直線間的距離公式可求得點P到直線x+y+4=0的距離d的關系式，并求得d_min．

解答： 解：設P（x，y）為該拋物線上任一點，那么y²=2x，
則點P到直線的距離d=

|x+y+4|

2

=

2

4

[（y+1）²+7]≥

7 2

4

，當且僅當y=-1時，取“=”．
此時點P（

1

2

，-1）．
即拋物線上的點P的坐標為P（

1

2

，-1）時，點P到直線x+y+4=0的距離最短，最小值為

7 2

4

．

點評：本題考查拋物線的簡單性質，考查點到直線間的距離公式與兩點間的距離公式，屬于中檔題．