Question

【題目】已知函數．

（1）求f[f（1）]的值；

（2）若f（x）＞1，求x的取值范圍；

（3）判斷函數在（-2，+∞）上的單調性，并用定義加以證明．

Answer 1

【答案】（1） （2）（-∞，-2） （3）增函數，證明見解析

【解析】

（1）可以求出，然后代入x=即可求出f[f（1）]的值；

（2）根據f（x）＞1即可得出，化簡然后解分式不等式即可；

（3）分離常數得出，從而可看出f（x）在（-2，+∞）上是增函數，根據增函數的定義證明：設任意的x1＞x2＞-2，然后作差，通分，得出，然后說明f（x1）＞f（x2）即可得出f（x）在（-2，+∞）上是增函數．

（1）f[f（1）]=；

（2）由f（x）＞1得，，化簡得，，

∴x＜-2，

∴x的取值范圍為（-∞，-2）；

（3），f（x）在（-2，+∞）上是增函數，證明如下：

設x1＞x2＞-2，則：=，

∵x1＞x2＞-2，

∴x1-x2＞0，x1+2＞0，x2+2＞0，

∴，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（-2，+∞）上是增函數．