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已知函數（n∈N*）．
（Ⅰ）比較fn′（0）與的大小；
（Ⅱ）求證：．
【答案】分析：（1）先求出函數f（x）的導數，構造函數φ（x）=ln（1+x）-x，研究函數φ（x）的單調性可判定fn′（0）與的大小
（2）利用第一問的結論對進行放縮，結合不等式的性質和裂項求和法的運用，聯合求解即可證明原不等式．
解答：解：（Ⅰ）
則，設函數φ（x）=ln（1+x）-x，x∈（0，1]
則，則φ（x）單調遞減，
所以ln（1+x）-x＜φ（0）=0，所以ln（1+x）＜x
則，即；
（Ⅱ）．
因為
則
則原結論成立．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及不等式的證明，在高考中也常考，屬于難題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

（08年山東卷理）（本小題滿分12分）

已知函數其中n∈N*,a為常數.

（Ⅰ）當n=2時，求函數f(x)的極值；

（Ⅱ）當a=1時，證明：對任意的正整數n,當x≥2時，有f(x)≤x-1.

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科目：高中數學 來源： 題型：

（08年山東卷理）（本小題滿分12分）

已知函數其中n∈N*,a為常數.

（Ⅰ）當n=2時，求函數f(x)的極值；

（Ⅱ）當a=1時，證明：對任意的正整數n,當x≥2時，有f(x)≤x-1.

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科目：高中數學 來源： 題型：

（山東卷理21）已知函數其中n∈N*,a為常數.

（Ⅰ）當n=2時，求函數f(x)的極值；

（Ⅱ）當a=1時，證明：對任意的正整數n,當x≥2時，有f(x)≤x-1.

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科目：高中數學 來源： 題型：

（山東卷理21）已知函數其中n∈N*,a為常數.

（Ⅰ）當n=2時，求函數f(x)的極值；

（Ⅱ）當a=1時，證明：對任意的正整數n,當x≥2時，有f(x)≤x-1.

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科目：高中數學 來源： 題型：

（15分）已知函數其中n∈N*,a為常數.

（Ⅰ）當n =2時，求函數f(x)的極值；

（Ⅱ）當a =1時，證明：對任意的正整數n , 當x≥2時，有f(x)≤x-1.

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