Question

（山東卷理21）已知函數其中n∈N*,a為常數.

（Ⅰ）當n=2時，求函數f(x)的極值；

（Ⅱ）當a=1時，證明：對任意的正整數n,當x≥2時，有f(x)≤x-1.

Answer 1

【標準答案】

（I）的定義域為，當時

1）當時，由得

當時，單調遞減；

當時，單調遞增。

2）當時恒成立，無極值。

縱上可知時，

當時在處取得極小值為

當時無極值。

（II）當時，

當時，對任意恒有，故只需證。

令，，

故在上單調遞增，即在上恒成立，而

恒成立，

因此，當時，恒有

【試題分析】：第一問對討論時要注意一些顯而易見的結果，當時恒成立，無極值。第二問需要對構造的新函數進行“常規處理”，即先證單調性，然后求最值 ，最后作出判斷。

【高考考點】: 導數及其應用、構造函數證明不等式

【易錯提醒】: 沒有注意該函數定義域對問題的影響，分類討論無目標，判斷的正負漏掉符號。

【備考提示】: 函數類問題的解題方法要內悟、歸納、整理，使之成為一個系統，在具體運用時自如流暢，既要具有一定的思維定向，也要謹防盲目套用。此類問題對轉化能力要求很高，不能有效轉化是解題難以突破的主要原因，要善于構造函數證明不等式，從而體現導數的工具性