Question

9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A，B，C成等差數列，2a，2b，2c成等比數列，則sinAcosBsinC=（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{3}{8}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{8}$

Answer 1

分析 由A，B，C成等差數列，可得2B=A+C，結合三角形內角和定理可求B=$\frac{π}{3}$，由2a，2b，2c成等比數列，得b²=ac，進而利用余弦定理得（a-c）²=0，可求A=C=B=$\frac{π}{3}$，利用特殊角的三角函數值即可計算得解．

解答 解：由A，B，C成等差數列，有2B=A+C，（1）
∵A，B，C為△ABC的內角，∴A+B+C=π，（2）．
由（1）（2）得B=$\frac{π}{3}$．
由2a，2b，2c成等比數列，得b²=ac，
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
把B=$\frac{π}{3}$、b²=ac代入得，a²+c²-ac=ac，
即（a-c）²=0，則a=c，從而A=C=B=$\frac{π}{3}$，
∴sinAcosBsinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{8}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了等差數列，等比數列的性質，三角形內角和定理，余弦定理，特殊角的三角函數值在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．