Question

【題目】已知橢圓 的離心率為，且過點．直線與交于，兩點，點是的左焦點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點且不與軸重合，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1.

【解析】

（1）通過橢圓離心率為，過點，列式值計算即得a，b即可；

（2）解法1：設直線l的方程為代入橢圓方程，整理，利用韋達定理，計算三角形的面積，換元，利用函數的單調性，即可求得結論．

解法2：當直線l垂直于x軸時，將代入橢圓方程得，解得，此時，當直線l不垂直于x軸時，設直線l的方程為（k≠0），代入橢圓方程，整理，利用韋達定理，計算三角形的面積，換元，利用函數的單調性，即可求得結論．

（1）依題意得，

解得，

所以橢圓的方程為 .

（2）依題意得

解法1：設直線的方程為，聯立橢圓方程得

消去整理得

因為在橢圓內部，所以

設，，則 ，

.

令，則，，

因為 當時，，當且僅當時“”號成立，

所以，

所以 的面積的最大值是.

解法2：當直線垂直于軸時，將代入橢圓方程得

，解得 ，此時，

當直線不垂直于軸時，設直線的方程為 ，聯立橢圓方程得

消去整理得

因為在橢圓內部，所以

設，，則 ，

.

點到的距離，

所以

因為 所以令，則，

令，則，，

因為 當時，，當且僅當時“”號成立，

所以，

綜上得 的面積的最大值是.