Question

如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱錐的外接球的體積.

Answer 1

外接球體積為×OA³=··=

解析:

  由已知條件知，平面圖形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1

∴折疊后得到一個正四面體.                                                       2分

方法一  作AF⊥平面DEC，垂足為F，F即為△DEC的中心.

取EC的中點G，連接DG、AG，

過球心O作OH⊥平面AEC.

則垂足H為△AEC的中心.                                                  4分

∴外接球半徑可利用△OHA∽△GFA求得.

∵AG=，AF==，                                      6分

在△AFG和△AHO中，根據三角形相似可知，

AH=.∴OA===.                               10分

∴外接球體積為×OA³=··=.                 14分

方法二  如圖所示，把正四面體放在正方體中.顯然，正四面體

的外接球就是正方體的外接球.                                             6分

∵正四面體的棱長為1，

∴正方體的棱長為，∴外接球直徑2R=·，               10分

∴R=，∴體積為·=.                             12分

∴該三棱錐外接球的體積為.                                               14分