Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，點(n，

Sn

n

)在直線y=

1

2

x+

11

2

上，數列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N*），且b₃=11，前9項和為153．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）求數列{2an•bn}前n項的和．

Answer 1

分析：（1）利用點(n，

Sn

n

)在直線y=

1

2

x+

11

2

上，求得S_n，再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}的通項公式；確定數列{b_n}是等差數列，利用b₃=11，前9項和為153，即可求數列{b_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法，可求數列{2an•bn}前n項的和．

解答：解：（1）由題意可知

Sn

n

=

1

2

n+

11

2

，∴Sn=

1

2

n2+

11

2

n
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n+5
n=1時，a₁=S₁=6也適合
∴a_n=n+5；
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，
∴{b_n}是等差數列
∵前9項和為153
∴

9(b1+b9)

2

=9b₅=153，∴b₅=17
∵b₃=11，∴公差d=

b5-b3

2

=3
∴b_n=3n+2；
（2）設數列{2an•bn}前n項的和T_n，則
T_n=2⁶×5+2⁷×8+…+2ⁿ⁺⁵•（3n+2）①
∴2T_n=2⁷×5+2⁸×8+…+2ⁿ⁺⁶•（3n+2）②
①-②：-T_n=2⁶×5+3×（2⁷+2⁸+…+2ⁿ⁺⁵）-2ⁿ⁺⁶•（3n+2）=-2⁶-（3n-1）•2ⁿ⁺⁶
∴Tn=(3n-1)•2n+6+64

點評：本題考查數列的通項與求和，考查數列與函數的聯系，正確運用求和公式是關鍵．