Question

設m∈{1，2，3，4}，n∈{-12，-8，-4，-2}，則函數f（x）=x³+mx+n在區間[1，2]上有零點的概率是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  9

  16

• C．

  11

  16

• D．

  13

  16

Answer 1

分析：根據題意易得，f（x）=x³+mx+n在R上單調遞增，進而可得若函數f（x）=x³+mx+n在區間[1，2]上有零點，必須有

f(1)≤0 f(2)≥0

，解可得-2m-8≤n≤-m-1，進而分m=1、m=2、m=3、m=4四種情況討論，求出滿足-2m-8≤n≤-m-1的n的值，可得滿足f（x）在[1，2]上有零點的情況數目，由分步計數原理可得函數f（x）=x³+mx+n的解析式的情況數目，進而由等可能事件的概率，計算可得答案．

解答：解：根據題意，f′（x）=3x²+m，又由m＞0，則f′（x）=3x²+m＞0；
故f（x）=x³+mx+n在R上單調遞增，
則若函數f（x）=x³+mx+n在區間[1，2]上有零點，
只需滿足條件

f(1)≤0 f(2)≥0

，
從而解得m+n≤-1且2m+n≥-8，
∴-2m-8≤n≤-m-1，
當m=1時，n取-2，-4，-8；
m=2時，n取-4，-8，-12；
m=3時，n取-4，-8，-12；
m=4時，n取-8，-12； 
共11種取法，
而m有4種選法，n有4種選法，則函數f（x）=x³+mx+n情況有4×4=16種，
故函數f（x）=x³+mx+n在區間[1，2]上有零點的概率是

11

16

；
故選C．

點評：本題考查等可能事件的概率與函數零點的判定，關鍵在于根據函數零點的判定方法，分析出m、n之間的關系．