Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD．
求證：（1）AD∥平面PBC；
（2）求PC與平面PBD所成的角．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理，由線線平行⇒線面平行．
（2）通過證線線垂直⇒線面垂直，來證射影，證線面角，再解三角形求解．

解答：解：（1）證明：∵底面ABCD為正方形，∴AD∥BC，
又∵AD?平面PBC，BC?平面PBC，∴AD∥平面PBC．
（2）連接AC、BD，交點為O，連接PO，
∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD
∵BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD
∴PO為PC在平面PBD中的射影，
∴∠CPO為PC與平面PBD所成的角．
設PD=AD=1，PC=

2

，CO=

2

2

，
在Rt△POC中，sin∠CPO=

CO

PC

=

1

2

，∴∠CPO=

π

6

 故PC與平面PBD所成的角為30°．

點評：本題考查線面平行的判定與直線與平面所成的角．空間角的求法：1、作角（平行線或垂線）；2、證角（符合定義）；3、求角（解三角形）．