Question

如圖，已知F₁、F₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF₂與圓x²+y²=b²相切于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為線段PF₂的中點(diǎn)，則

PF1

•

PF2

=______；橢圓C的離心率為______．

Answer 1

連接OQ，F(xiàn)₁P如下圖所示：
則由切線的性質(zhì)，則OQ⊥PF₂，
又由點(diǎn)Q為線段PF₂的中點(diǎn)，O為F₁F₂的中點(diǎn)
∴OQ∥F₁P
∴PF₂⊥PF₁，
∴

PF1

•

PF2

=0
故|PF₂|=2a-2b，
且|PF₁|=2b，|F₁F₂|=2c，
則|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²
得4c²=4b²+4（a²-2ab+b²）
解得：b=

2

3

a
則c=

5

3

a
故橢圓的離心率為：

5

3

故答案為：0，

5

3

．