Question

已知向量

m

=(sinx，1)，

n

=(

3

Acosx，

A

2

cos2x)(A＞0)，函數f(x)=

m

•

n

-1的最大值為3．
（Ⅰ）求A以及最小正周期T；
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象向左平移

π

12

個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．求g（x）在[-

π

12

，

π

6

]上的最小值，以及此時對應的x的值．

Answer 1

（ I）∵

m

=(sinx，1)，

n

=(

3

Acosx，

A

2

cos2x)(A＞0)，
∴f(x)=

m

•

n

-1=

3

Asinxcosx+

A

2

cos2x-1
=A(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)-1=Asin(2x+

π

6

)-1
∵A＞0，且f(x)=

m

•

n

-1的最大值為3，
∴A-1=3，
解得A=4，函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
綜上所述，A=4且最小正周期T=π．
（Ⅱ）由（I）可得函數f（x）的解析式為f(x)=4sin(2x+

π

6

)-1，
∴將函數y=f（x）的圖象向左平移

π

12

個單位，得到y=4sin[2(x+

π

12

)+

π

6

]-1=4sin(2x+

π

3

)-1的圖象．
再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到y=4sin(4x+

π

3

)-1的圖象．
因此，函數g(x)=4sin(4x+

π

3

)-1，
∵當x∈[-

π

12

，

π

6

]時4x+

π

3

∈[0，π]，
可得sin(4x+

π

3

)∈[0，1]，
∴當4x+

π

3

=0或π時，
即x=-

π

12

或x=

π

6

時，g（x）_min=-1．
即g（x）在[-

π

12

，

π

6

]上的最小值為-1，
此時對應的x的值等于-

π

12

或

π

6

．