Question

已知正四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁的上底面?下底面周長(zhǎng)分別為8和16，高為

3

（1）求上?下底面面積；
（2）求斜高及側(cè)面積；
（3）求表面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁的上底面?下底面是正方形，依據(jù)它們的周長(zhǎng)求出邊長(zhǎng)，再求面積；
（2）在正四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁中，找出上、下底邊心距

a

2

，

b

2

的差，高h(yuǎn)，斜高h(yuǎn)′構(gòu)成一個(gè)直角三角形，用勾股定理求出斜高；
（3）利用表面積S_表=S_上底+S_下底+S_側(cè)結(jié)合已知條件即可得出表面積．

解答：解：設(shè)上底的邊長(zhǎng)為a，下底的邊長(zhǎng)為b，斜高為h′．
（1）∵4a=8，∴a=2，∴S_上=a²=4，
∵4b=16，∴b=4，∴S_下=b²=16．
故上?下底面面積分別為4，16．
（2）由于上、下底邊心距

a

2

，

b

2

的差，高h(yuǎn)，斜高h(yuǎn)′構(gòu)成一個(gè)直角三角形如右下圖，
∴h′=

h2+( b 2 - a 2 ) 2

=

3+1

=2，即斜高為2．
一個(gè)側(cè)面面積=

2+4

2

×h′=6，
∴側(cè)面積=4×6=24．
（3）S_表=S_上底+S_下底+S_側(cè)=4+16+24=44，
即表面積為44．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征、正四棱臺(tái)的性質(zhì)、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，構(gòu)造直角梯形和直角三角形，利用勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．