Question

如圖所示，正四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁是由一個正三棱錐S-ABCD（底面為正方形，頂點在底面上的射影為底面正方形的中心）被平行于底面的平面截所得．已知正四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁下底面邊長為2，上底面邊長為1，高為2．
（1）求四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積；
（2）求正四棱錐S-ABCD的體積；
（3）證明：AA₁∥平面BDC₁．

Answer 1

分析：（1）根據棱臺的體積公式求解．
（2）根據棱錐的體積公式求錐體的體積．
（3）利用線面平行的判定定理判斷．

解答：解（1）由已知，正四棱臺上底面積S₁=1，下底面積S=4，高h=2，
∴V=

1

3

(S+S1+

S•S1

)h=

14

3

…4
（2）設正四棱錐S-ABCD高為x，則四棱錐S-A₁B₁C₁D₁高為x-2，
由

x-2

x

=

A1B1

AB

=

1

2

，解得x=4，…7
∴VS-ABCD=

1

3

SABCD•x=

16

3

…9
（3）連結AC交BD于O，連結OC₁，∵ABCD為正方形，
∴O為AC中點，…10
又∵

SC1

SC

=

B1C1

BC

=

1

2

∴C₁為SC的中點，…12
則OC₁為△ASC的中位線，
∴OC₁∥AA₁，…13
而OC₁?平面BDC₁，AA₁?平面BDC₁，
∴AA₁∥平面BDC₁…14

點評：本題主要考查空間幾何體的體積，以及空間直線和平面平行的判斷，要求熟練掌握相應的判定定理和性質定理和空間幾何體的體積公式．