Question

1．給出以下命題：
①若cos＜$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{PQ}$＞=-$\frac{1}{3}$，則異面直線MN與PQ所成角的余弦值為-$\frac{1}{3}$；
②若平面α與β的法向量分別是$\overrightarrow a=（2，4，-3）$與$\overrightarrow b=（-1，2，2）$，則平面α⊥β；
③已知A、B、C三點不共線，點O為平面ABC外任意一點，若點M滿足$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$，則點M∈平面ABC；
④若向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$是空間的一個基底，則向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c$、$\overrightarrow a+\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$也是空間的一個基底；
則其中正確的命題個數是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由兩條異面直線所成的角的取值范圍可以判斷①，由平面向量數量積的運算可以判斷②，在空間，點M在平面ABC內的充要條件是存在α、β、γ，使$\overrightarrow{OM}$=α$\overrightarrow{OA}$+β $\overrightarrow{OB}$+γ$\overrightarrow{OC}$且α+β+γ=1可以判斷③，由三個向量非零不共線可以判斷④，從而可得到正確的命題個數．

解答 解：對于①：∵兩條異面直線所成的角的取值范圍是（0°，90°]，
∴異面直線MN與PQ所成角的余弦值不能為負值，故①不正確；
對于②：∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（2，4，-3）（-1，2，2）=-2+8-6=0，
∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．∴平面α與平面β垂直，故②正確；
對于③：∵$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$，且$\frac{1}{5}+\frac{4}{5}+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}≠1$
∴M點不在平面ABC內，故③不正確；
對于④：∵向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$是空間的一個基底，則向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c$、$\overrightarrow a+\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$也是空間的一個基底，∵三個向量非零不共線，故④正確．
∴其中正確的命題個數是：2．
故選：B．

點評 本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了兩條異面直線所成的角的取值范圍以及平面向量數量積的運算，是中檔題．